고등학교 수학과정 중 가장 미흡하게 소개된 개념을 꼽으라면 단연 극한이라고 할 수 있다.
고등학교 과정에서 극한의 개념은 매우 모호하다.
- 고등학교 과정에서 극한의 정의 -
항수 f(x) 에서 x -> a 로 한없이 가까워질때, f(x) 의 값이 일정한 값 f(a) 에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 f(a) 에 수렴한다고 한다. 이 때, f(a) 을 x->a 일 때 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라 한다.
이해 되는가? 당연히 이해는 될것이다. 하지만, 한없이 가까워진다는 것이 대체 무엇인지 논리적으로 설명이 가능한가?
이를 위해 등장한 것이 ε-δ (입실론-델타) 논법이다.
본 논법은 독일의 수학자 K-바이어슈트라수가 최초로 정립한 극한의 정의법이다.
- ε-δ 대수적 정의 -
모든 ε>0 에 대해, |x-a|<δ 이면 |f(x)-f(a)|<ε 이 되는 δ가 존재한다. -> 개념을 공간에 그려보기 바란다.
내가 어떤 ε 을 정한다고 해도, |x-a|<δ 이면서 |f(x)-f(a)|<ε 이 성립하는 δ가 존재 한다는 것을 보일 수 있다면, 이를 이용하여 극한을 구할 수 있다는 것을 증명한 것이다.
즉, 어떤 함수에 δ 보다 작은 차이를 가지는 입력이 들어가면 그 출력은 ε 보다 작은 차이를 가지며, 두 함수는 거의 비슷하지만, 같지 않다. -> 아주 중요한 개념이다.
* 고대 그리스의 엘레학파의 제논이 제기한 의문을 해결하는 단초가 되는 개념으로 현재 21세기를 만들어낸 것이기도 하다.
한국말인데 영어 처럼 들리는가? 천천히 생각해보자, 의외로 쉽다.
다시 본론으로 돌아가 ε-δ 에 대하여 설명을 해보자.
* |x-a|<δ
-> x 가 (a-δ, a+δ) 구간에 있는 것을 의미
* |f(x)-f(a)|<ε
-> f(x) 가 (f(a)-ε, f(a)+ε) 구간에 있는 것을 의미
즉 x 가 (a-δ, a+δ) 구간에 있다면 f(x) 는 언제나 (f(a)-ε, f(a)+ε) 구간에 있어야 함을 의미한다.
f(x) 가 (f(a)-ε, f(a)+ε) 있다는 말은 ε 을 아무리 작게 만든다 하더라도, 임의의 δ 값을 조정하여 f(x)를 (f(a)-ε, f(a)+ε) 안에 넣을 수 있어야 한다는 것을 말한다.